Как искать работу, не увольняясь со старой?

Ну так и искать. Например, по объявлениям в интернете или в местной газете. Если уж найдёте что-то подходящее, что вам понравится, тогда уже можно будет думать о заявлении на увольнение не предыдущем месте работы.

Не совсем понимаю смысл вопроса. Ищите новую, увольняетесь со старой и все дела. Правда надо договориться на новом месте, что вы выйдете на новую работу после отработки положенных двух недель у предыдущего работодателя.